Recuento
A menudo
se presenta la necesidad de calcular el número de maneras distintas en que un
suceso se presenta o puede ser realizado. Otras veces es importante determinar
la probabilidad de ocurrencia de un evento específico. En ambos casos se apela
al sentido común, o se establecen métodos que permitan sistematizar tales
cálculos. Con frecuencia el sentido común ayuda a entender por qué se eligió un
procedimiento dado, mientras que la formalización del cálculo las vías para
encontrar las soluciones apropiadas.
Iniciaremos
nuestro estudio de teoría combinatoria enunciando los principios aditivo y
multiplicativo de conteo.
Principio aditivo de
conteo: Sean A y B dos sucesos
que no pueden ocurrir simultáneamente. Si A ocurre de a maneras distintas y B
ocurre de b maneras distintas, el número de maneras en el cual puede ocurrir A
o B es A +B
Principio
multiplicativo de conteo: Si
un suceso puede ocurrir en a maneras e, independientemente, un segundo suceso
puede ocurrir en b maneras, entonces el número de maneras en que ambos, A y B,
pueden ocurrir ab.
A este principio también se
le denomina principio fundamental de conteo.
Ejemplo
Se tienen 6 banderas de
señalización, dos rojas, dos verdes y dos azules. ¿Cuántas señales distintas
pueden hacerse con una o dos banderas a la vez?
* Solución:
Si denotamos las banderas
rojas, verdes y azules por R, V y A, respectivamente, vemos que con una bandera
a la vez se pueden hacer 3 señales distintas:
R , V , A
Con dos banderas a la vez
se puede hacer las siguientes señales (sacando, por ejemplo, una primera y
después la otra) es decir
RR, RV. RA, VR, VV, VA, AR, AV, AA
Entonces, si se utilizan
dos banderas, se pueden hacer 9 señales distintas. Luego, con una o dos
banderas se podrán realizar 3+9= 12 señales diferentes. Observa que, como se
establece en la definición, se trata de dos sucesos A y B descritos como:
A: Se hacen señales con una
sola bandera
B: Se hacen señales con dos
banderas.
Y que ambos no pueden
ocurrir simultáneamente, ya que si se decide hacer señales con una bandera se
descarta la segunda alternativa y viceversa
Ejemplo
¿
Cuántas quinielas de futbol distintas se pueden hacer?
Tenemos
en cuenta que en cada partido puede
haber 3 resultados: 1, x,2 , que hay 14 partidos y que los resultados de cada
uno es independiente de los demás, por tanto tendremos
3 .3
………3 = 314
Ejemplo
¿ Cuántos resultados distintos puede haber en un sorteo
de la lotería primitiva sin tener en cuenta el número complementario?
En
una bolsa tenemos 49 bolas numeradas del 1 al 49. El primer número lo escojo
entre 49 posibles números, el segundo número lo escojo entre 48 (pues las
bolas, una vez extraídas no se devuelven a la bolsa), el tercero entre 47, y
así sucesivamente, por lo tanto, en principio habría 49*48*47*46*45*44=
10.068.347.520.Esta sería la solución si el orden de extracción de las bolas, se tuviese en cuenta, pero no es así. El número que hemos sacado en la primera extracción podría haber salido en la segunda, tercera, cuarta, quinta o sexta extracción (en total 6), por lo tanto habrá que dividir por 6. El número que hemos sacado en la segunda extracción, podría haber salido en la tercera, cuarta, quinta o sexta extracción, (en total 5), habrá que dividir entre 5 y así seguiríamos razonando hasta la ultima extracción.
Por ello habrá que dividir por 6*5*4*3*2*1 el número anterior para obtener la solución.
10.068.347.520/720=13.983.816
Ejemplo
¿Cuántas quinielas distintas se pueden hacer si creemos que el resultado de 4 partidos será un 1, el de 5 partidos puede ser un 1 o una x, y los 6 partidos restantes puede darse cualquiera de los tres signos?
Los cuatro resultados 'fijos' los podemos elegir entre un signo, los 5 'dobles' entre dos y los 6 'triples' entre 3, por lo tanto la solución sería: 1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.3.3.3.3=23328
Hasta ahora, los ejemplos realizados los hemos
realizado mediante conteo, nuestro objetivo es formalizar y obtener
expresiones matemáticas que nos den los resultados buscados.
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